Un sistema di numerazione è l’insieme di un numero finito di simboli e delle regole che assegnano uno e un solo valore numerico ad ogni stringa formata dai simboli stessi.
Nei sistemi di numerazione posizionale, i simboli vengono nominati cifre e ogni cifra assume un ruolo diverso in base alla posizione in cui si trova.
Si scelga un numero naturale 
detto Base, diverso da 
e 
, e simboli diversi , che andranno da a 
. Se indichiamo con 
la generica cifra in 
-esima posizione in una stringa, il significato della stringa sarà 
.
La rappresentazione dei numeri è eseguita con dei simboli, ai quali viene associato un valore. Quando la base di numerazione è superiore al 10, per rappresentare le cifre con valore superiore a 9, si utilizzano le lettere dell’alfabeto.
Se la base è superiore a 25, e le lettere dell’alfabeto non sono più sufficienti si passa ad una rappresentazione con valore numerico, e si separano le cifre con un simbolo convenzionale, come “:”.
Un esempio di numeri di questo tipo si può vedere in tutti gli orologi da polso digitali, l’ora è rappresentata da due cifre (in base 60) separate dal simbolo “:”.
I numeri e l’uomo
Si suppone che l’umanità abbia elaborato la capacità di conteggio, prima di possedere il concetto di numero.
L’uso delle tacche su un bastone, poteva ad esempio, consentire ad un pastore analfabeta, di verificare la presenza di tutte le pecore del suo gregge. Questa strategia si basa sul costruire una corrispondenza biunivoca tra la rappresentazione (tacche sul bastone) e la realtà effettiva (quante pecore?).
Il sistema funziona perfettamente fino a che il numero di elementi (pecore) da conteggiare è limitato: insiemi più grandi richiedono sistemi di calcolo più efficienti.
Si è passati quindi ad assegnare valori differenti ai simboli utilizzati. Ne è un esempio l’uso di cordicelle di colori diversi (uno per le centinaia, uno per le decine, uno per le unità), nelle quali infilare delle conchiglie: una conchiglia infilata nella cordicella delle decine, equivale a 10 conchiglie infilate nella cordicella delle unità. Con questa regola è stato possibile aumentare la quantità di numeri rappresentabili, senza avere una corrispondenza 1:1 tra il numero e il simbolo.
[Liberamente rielaborato da http://www.scienzagiovane.unibo.it/numeri/2-contsenzanum.html]
Dall’abaco alla rappresentazione simbolica
Nel corso della storia l’uomo ha costruito diversi strumenti per far di conto. Dall’abaco a polvere usato da Fenici, Ebrei e poi i Greci, gli Etruschi, all’abaco romano a Lapilli, fino all’abaco medioevale a colonne o a gettoni.
Nell’ottica di velocizzare e semplificare ulteriormente la notazione, il passo successivo è stato quello di eliminare la rappresentazione attraverso un mezzo fisico (le colonne nell’abaco) con delle “etichette” che fungessero da segna posto o ordine, per le cifre (nell’esempio “100″, “10″, “1″).
In seguito, per comodità si è cominciato a sottintendere tali “etichette“, giungendo così alla notazione posizionale tutt’oggi in uso, nella quale la posizione della singola cifra determina il valore della cifra stessa. A questo punto possiamo determinare il valore finale del numero:
[Liberamente rielaborato da http://matematica.unibocconi.it/articoli/la-tavola-pitagorica]